沏一杯茶,读一篇美文,把生活过成诗全站导航 首页|教育频道|古诗文|作文大全|范文大全|励志文章|英语美文

首页 > 教育学习 > 学习大全 >

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理)

更新时间:2016-12-12 23:50:06 来源:网络整理
关注我们 扫一扫关注我
  托勒密定理

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理)

一些圆定理.doc

定理图

定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.

定理的提出

一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。

证明

一、(以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。)

在任意四边形ABCD中,作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

因为△ABE∽△ACD

所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)

而∠BAC=∠DAE,,∠ACB=∠ADE

所以△ABC∽△AED相似.

BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因为BE+ED≥BD

(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”)

所以命题得证

复数证明

用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数,则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式: (a ? b)(c? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b? d) ,两边取模,运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上,圆周角∠BAC = ∠BDC,而在AB上,∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K,使得∠ABK = ∠CBD; 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD,所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似,同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD,且CK/BC = DA/BD; 因此AK·BD = AB·CD,且CK·BD = BC·DA; 两式相加,得(AK+CK)·BD= AB·CD + BC·DA; 但AK+CK = AC,因此AC·BD = AB·CD +BC·DA。证毕。

三、

托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).已知:圆内接四边形ABCD,求证:AC·BD=AB·CD+AD·BC.

证明:如图1,过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP.得AC:BC=AD:BP,AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP.得AC:CD=AB:DP,AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC.

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理)

推论

1.任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆、

推广

托勒密不等式:四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。

简单的证明:复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模,

得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD

注意:

1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。

2.四点不限于同一平面。

欧拉定理:在一条线段上AD上,顺次标有B、C两点,则AD·BC+AB·CD=AC·BD

塞瓦定理

简介

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理)

塞瓦(GiovanniCeva,1648~1734)意大利水利工程师,数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书,也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。

具体内容

塞瓦定理

在△ABC内任取一点O,

直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

证法简介

(Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明:

∵△ADC被直线BOE所截,

∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

而由△ABD被直线COF所截,∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②÷①:即得:(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

(Ⅱ)也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,

根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。

可用塞瓦定理证明的其他定理;

三角形三条中线交于一点(重心):如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1

且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点

此外,可用定比分点来定义塞瓦定理:

在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。(注意与梅涅劳斯定理相区分,那里是λμν=-1)

塞瓦定理推论

1.设E是△ABD内任意一点,AE、BE、DE分别交对边于C、G、F,则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1

因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1,(塞瓦定理)所以(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K(K为未知参数)且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K(K为未知参数)又由梅涅劳斯定理得:(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1

所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1

2.塞瓦定理角元形式

AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是:

(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1

由正弦定理及三角形面积公式易证

3.如图,对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F,直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是:

(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理)

由塞瓦定理的角元形式,正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。

4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,根据塞瓦定理逆定 理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。

梅涅劳斯定理

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理)

梅涅劳斯定理证明

精彩图文

阅读本文后您有什么感想? 已有 人给出评价!

  • 0 囧
  • 0 恶心
    恶心
  • 0 期待
    期待
  • 0 难过
    难过
  • 5 不错
    不错
  • 3 关注
    关注

网友评论

发表评论